Matemática discreta Ejemplos

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.2

Expande $(x - 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 2$ y $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.3.1.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.3.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.1.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Paso 2.2

Simplifica $2 \log (x - 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Paso 2.3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $x$

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Paso 2.4.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.4.1.1

Reescribe.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.2

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Paso 2.4.1.3

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Paso 2.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Paso 2.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.4.1.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.4.1.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.4.1.4.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.4.1.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Paso 2.4.1.4.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 2.4.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Paso 2.4.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Paso 2.4.3.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Paso 2.4.3.2.2

Suma $- 2 x + 1$ y $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Paso 2.4.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.4.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 4 - 1$

Paso 2.4.4.2

Resta $1$ de $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Paso 2.4.5

Divide cada término en $- 2 x = - 5$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.4.5.1

Divide cada término en $- 2 x = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 2.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 2.4.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 2.4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2.5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.2.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Paso 3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = - 2, 2, 1$

Paso 3.2.8

Obtén el dominio de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.8.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.8.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2.8.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.2.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 3.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 3.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 3.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.1.3

$0.48$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.2.3

$- 4$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 3.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.3.3

$- 7$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.2.10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.2.10.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.4.3

$1.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.2.10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 3.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x > 2$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > \frac{5}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x > \frac{5}{2}$

Notación de intervalo:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Paso 6